Seminar über Spiegelungsgruppen (WS 2009/10)

mit M. Kreidl

Das Thema des Seminars sind Gruppen, die in natürlicher Weise mit der Geometrie euklidischer oder affiner Vektorräume in Verbindung stehen. In erster Linie beschäftigen wir uns mit endlichen Spiegelungsgruppen. Gruppen und ihre Aktionen auf geometrischen Objekten sind der Weg der Mathematik, über Symmetrie zu sprechen. Man kann also ebenso gut sagen, dass sich das Seminar mit verschiedenen Formen von Symmetrie befasst. Durch diesen Bezug zur Geometrie wird der abstrakte Begriff der Gruppe besonders anschaulich.

Spiegelungsgruppen sind Untergruppen der orthogonalen Gruppe eines euklidischen Vektorraums, die von Spiegelungen erzeugt werden. Dies ist einerseits ein klassisches und mit elementaren Methoden zugängliches, aber auch interessantes und nach wie vor wichtiges Thema. Zusätzlich gibt es Vorträge über die platonischen Körper und Pflasterungen der Ebene, bedeutsamen Themen, die sich gut in das Seminar einfügen.

Das fundamentale Ergebnis, das wir im Seminar behandeln werden ist die Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen: man kann eine vollständige Liste aller Spiegelungsgruppen angeben. Wir klassifizieren auch die platonischen Körper und die kristallographischen Gruppen der Ebene.

Vorbesprechung: Mi., 2.9.2009, 14:00 Uhr, IEM.

Seminartermin: Do, 8-10 h, T03 R03 D75; das Seminar beginnt am 22.10.

Vorkenntnisse: Gute Kenntnisse über lineare Algebra im Umfang der Vorlesungen LA I, LA II; gute Kenntnisse über Geometrie im Umfang der Vorlesung von I. Janiszczak (SS 2009).

Seminarprogramm: pdf

Seminarschein: Für einen erfolgreichen Vortrag wird ein Seminarschein ausgestellt. Für einen erfolgreichen Vortrag ist es nicht ausreichend, die Vorlage zu übersetzen und anzuschreiben – Sie müssen den Stoff durchdringen und in verständlicher Weise erklären. Es wird erwartet, dass Sie die Vorlage gegebenenfalls umformulieren und (zum Beispiel was den Gebrauch der mathematischen Symbole etc. angeht) in eine Form bringen, die den Zuhörern zugänglich ist. Arbeiten Sie Beispiele aus!

Auch wenn dies kein formales Scheinkriterium ist, erwarte ich, dass alle Teilnehmer bei sämtlichen Vorträgen anwesend sind und sich aktiv beteiligen.

Meine Empfehlung, was ein “Handout” angeht: fertigen Sie kein Handout an, sondern investieren Sie die Zeit in das Verständnis des Vortragsstoffs.

Betreuung: Bei Fragen zu Ihrem Vortrag steht Ihnen Herr Martin Kreidl (kreidl@math.uni-bonn.de) zur Verfügung. Ich empfehle dringend, dass Sie Ihren Vortrag rechtzeitig (mindestens zwei Wochen) vor dem Termin mit ihm durchsprechen! Die Erfahrung zeigt, dass ein erfolgreicher Vortrag sonst nicht möglich ist.

Gleichzeitig sollten Sie auch untereinander über Ihre Vorträge sprechen.

Kontakt: ulrich.goertz@uni-due.de.

Vorträge

1	Gruppenaktionen	Annabell Werner
2	Die platonischen Körper	Simone Bones
3	Die orthogonale Gruppe $O(\mathbb R^3)$ und ihre endlichen Untergruppen	Yvonne Schachtschneider
4	Spiegelungen und Wurzelsysteme	Anna-Lena Stanski
5	Positive und einfache Systeme	Ulrich Görtz
6	Die Längenfunktion. Darstellung durch Erzeugende und Relationen	Ulrich Görtz
7	Fundamentalbereiche	Martin Kreidl
8	Coxeter-Graphen	Jan Letailleur
9	Positiv definite Graphen	Stephan Breil
10	Konstruktion von Wurzelsystemen	Sebastian Klein
11	Kristallographische Gruppen der Ebene	Pia Abels
12	Klassifikation der kristallographischen Gruppen der Ebene	Ulrich Görtz