Seminar über Kettenbrüche (WS 2010/11)

(Pro-)Seminar über Kettenbrüche (WS 2010/11)

gemeinsam mit Christian Kappen

Thema des Seminars

Kettenbrüche sind Ausdrücke der Form
$$ a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{\dots}}} $$
(beziehungsweise gewisse Varianten davon).
Kettenbrüche sind ein klassisches und interessantes Thema der Zahlentheorie, das wir zunächst mit elementaren Methoden studieren.
Zum Beispiel werden wir sehen, dass sich jede reelle Zahl durch einen (im irrationalen Fall unendlichen) Kettenbruch beschreiben lässt, und dass die partiellen Kattenbrüche gute Approximationen mit kleinen Nennern liefern. Überlegungen über die Approximierbarkeit von reellen Zahlen erlauben es auch, relativ leicht transzendente Zahlen anzugeben, also Zahlen, die nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind.

Danach behandeln wir Anwendungen in der Phyllotaxis, der Lehre der Blattstellung von Pflanzen. Wir untersuchen mathematische Modelle für die Stellung von Blättern oder Samenkörnern (z.B. bei Sonnenblumen). Hier treten Kettenbruchentwicklungen in natürlicher Weise auf. Wenn das Seminar genügend Teilnehmer hat, werden wir zum Schluss den Zusammenhand mit Ford-Kreisen, Gittern in $\mathbb R^2$ und der Modulgruppe $SL_2(\mathbb Z)$ aller $(2\times 2)$-Matrizen aus ganzen Zahlen mit Determinante $1$ betrachten.

Zum Abschluss wenden wir unsere Erkenntnisse über die gute und schlechte Approximierbarkeit von reellen Zahlen durch rationale Zahlen auf Transzendenzfragen an und zeigen, dass die Eulersche Zahl $e$ und die Kreiszahl $\pi$ transzendent sind.

Vorbesprechung: Mittwoch, 08.09., 14:00 h, T03 R04 D10. Wenn Sie zu diesem Zeitpunkt verhindert sind, melden Sie sich bitte (nach Möglichkeit vorher) per Email.

Programm: pdf

Die wesentlichen Quellen sind Teile von:

Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer
Scheid, Frommer, Zahlentheorie, Spektrum Akad. Verlag
Hellwig, Neukirchner, Phyllotaxis, Math. Semesterberichte
Hardy, Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Science

Termin: Do, 8-10, Beginn: 14.10.

Seminarscheine: Diese Veranstaltung ist ein kombiniertes Proseminar und Seminar. Ein Seminarschein kann für die Vorträge 4,5,6,7,9,11 ausgegeben werden.

Für einen erfolgreichen Vortrag wird ein (Pro-)Seminarschein ausgestellt. Für einen erfolgreichen Vortrag ist es nicht ausreichend, die Vorlage zu übersetzen und anzuschreiben – Sie müssen den Stoff durchdringen und in verständlicher Weise erklären. Es wird erwartet, dass Sie die Vorlage gegebenenfalls umformulieren und (zum Beispiel was den Gebrauch der mathematischen Symbole etc. angeht) in eine Form bringen, die den Zuhörern zugänglich ist. Arbeiten Sie Beispiele aus!

Zielgruppe: Die Proseminarvorträge können von Lehramtsstudenten und Bachelorstudenten ab dem dritten Semester übernommen werden, die Seminarvorträge von Lehramtsstudenten und Bachelorstudenten ab dem fünften Semester (oder in Ausnahmefällen in früheren Semestern). Nach dem Seminar können Themen für Staatsexamens- und Bachelorarbeiten vergeben werden.

Anforderungen/Vorkenntnisse: Gute Grundstudiumskenntnisse (insbesondere Lineare Algebra 1, Lineare Algebra 2, Analysis 1).

Schließlich, und am wichtigsten: die Motivation, sich ein interessantes mathematisches Thema anzueignen.

Kontakt: Prof. Dr. Ulrich Görtz, ulrich.goertz@uni-due.de

Vorträge

1	Ulrich Görtz	Die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl	14.10.
2	Marco Testrut	Periodische Kettenbrüche	21.10.
3	Julian Wilmer	Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen I	28.10.
4*	Michael Kreutz	Farey-Folgen	4.11., 11.11.
5*	Ebru Celik	Ford-Kreise	18.11.
6*	Ulrich Görtz	Zylindergitter, Parastichiebasen	25.11.
7*	Christian Kappen	Parastichiebasen und Ford-Kreise	2.12.
8	Manuel Fersch	Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen II	9.12.
9*	Jennifer Hülsmans	Annäherung reeller Zahlen durch rationale Zahlen III	16.12.
10	Manuel Maerz	Die Transzendenz von $e$	13.1.
11*	Adam Kaminski	Die Transzendenz von $\pi$	20.1.

* Seminarvortrag. Die anderen Vorträge sind Proseminarvorträge.